为什么有的人怎么努力也学不好高中数学？
为什么有的人怎么努力也学不好高中数学？
因为把数学跟最朴素和显然的生活经验人类直觉切割开了。
很多人觉得数学很难，越往后面越难，小学初中可能还是比较“正常”的算数和图形，到了高中就变得像是天书一样，充满了各种看不懂的符号公式和名词。
很多人误以为数学的世界和现实世界是两个完全不同的世界，前者是脱离世俗尘世的理想圣殿，后者是俗不可耐的柴米油盐，数学好的人都是天才，生来就能理解阳春白雪的数学语言。实际上这种想法是完全错误的，因为人类的一切知识和理论都来源于现实世界，数学也是如此，高中学习的初等数学更是如此！
理论不是架空的，而是来源于现实，再抽象复杂的理论，根本来源都是现实，只是经过了几步推理而已。现实就是我们的生活，就是吃喝玩乐，烧火做饭，累砖块盖房子，扔长矛打猎，看星星看月亮。
理解数学首先需要理解生活，理解生活首先需要感受生活。然而很多老师和家长在教育小孩时，严格地把学习与生活分开，学习是重要的严肃的神圣的，生活是随意的无所谓的用来支持学习的。学习的学生和生活中的孩子是两个人。这就导致孩子非常难以理解来源于生活的知识。
高中数学的内容跟现实与直觉非常贴近，下面一一罗列出来。
一开篇的集合与逻辑。集合就是像袋子一样把东西明确地分类装起来，一个东西要么属于这个集合，要么不属于这个集合，如果小袋子里的东西都在大袋子里，那么小袋子就包含于大袋子，并集就是把两个袋子的东西全都算进来，交集就是只有两个袋子里都有的东西才算，补集就是把一个袋子里的东西全都排除掉剩下的，一番操作后袋子里东西的数量还遵循一些非常简单的加减规律。命题就是生活中非常常见的正话反说逻辑游戏，“因为…所以…”，“全都这样”的反面是“至少有一个不这样”，“至少有一个这样”的反面是“全都不这样”。
接下来，函数是一个变量跟着另一个变量一起变化，或者输入一个东西就会输出一个东西，就像是一台榨汁机，输入苹果输出苹果汁，输入橙子输出橙汁，也可以看成把苹果跟苹果汁对应起来、把橙子跟橙汁对应起来。数学里的各种表达式都可以变成函数，比如英雄护甲值的减伤就是指数函数y=1.06^x，英雄属性的成长就是间断的函数，地图里刷小兵和野怪提供的金钱和经验也是函数，设计战术就是研究函数，什么时候增长最快，什么时候达到临界点，变化周期怎么样。
接下来，三角函数就是时钟的指针绕圈圈时随着旋转的角度，在两个坐标轴上的投影不断变化，一直盯着秒针看很久，看着看着就慢慢熟悉了余弦函数正弦函数的变化规律，什么时候递增什么时候递减，什么时候在上边/右边什么时候在下边/右边，什么情况横轴和纵轴的投影长度对调，多长时间重复一次。三角恒等变换只是通过巧妙地设置角的大小，然后来回化简就行。函数的伸缩和平移变换实际上就是让点的坐标的变化抵消解析式的参数的变化，加减是平移，乘除是伸缩，搞清楚是只对x、y变换还是对含x、y的整个表达式变换就行。
接下来，解析几何主要是向量和方程。向量真是方便，用有序实数对（实数组）就能完整地表示出长度和方向两方面信息，并且平行和垂直关系跟坐标有非常强烈的对应关系，再也不用挠着头皮瞎试辅助线了。二维的平面只要两个不共线的向量就能表示出所有向量，三维的立体空间只要三个不共面的向量就能表示出所有向量，n维只要n个不在n-1维空间的向量就行，原来这就是维度的大致意思。各组基底里最好用的是单位正交基，因为垂直以后内积是0，在一个方向上来回移动对另一个方向一点儿没影响。圆锥曲线的方程很好地解决了向量没有固定位置的问题。两个工具一起用。莫名其妙突然插入的复数，本以为只是为了解决根号下不能是负数生编硬造的概念，没想到竟然非常简洁地展示了把图形旋转的变换原理。
接下来，数列一开始没什么意思，只是个定义域是正整数的无聊函数，还是最无聊的一次函数和指数函数。算着算着没成想出来了二阶等差数列、二阶等比数列、等差和等比混合的数列，还有斐波那契数列这种说起来简单算起来费事的神器数列，各种一通来回迭代、各种一通来回抵消、各种一通变过去又变回来，竟然就得到通项公式了。虽然用数学归纳法直接验证猜想出来的公式非常简单无脑，但是尝试正着一通乱试推导出来非常有成就感！
接下来，计数原理、排列组合。就跟日常数数没有任何区别了，加法原理就是把一堆东西再分分类，每一个小类中的种数加起来就是一共的总数。乘法原理就是分步骤，每个步骤的方案数量全都乘起来就是总的方案数量。排列数就是依次选人排队，排一个人可选的人就少一个，全都依次乘起来就行。组合数稍微麻烦点借助排列数绕一圈，把队伍里的人相同只是顺序不同的排列归并成一个组合就行。二项式定理就是继续用了计数原理，n个同样的a+b相乘，按照乘法分配律展开后，每个a+b都一定会要么贡献a要么贡献b。
接下来，概率与统计跟玩大富翁、打麻将丢骰子、足球比赛扔硬币挑场地有什么区别吗？骰子6个面朝上的几率相等都是1/6，硬币2个面朝上的几率相等都是1/2，抽n支签的话每支签抽中的几率相等都是1/n。再把每一个点数都命名成一个基本事件，{246}组成事件“偶数”，{135}组成事件“奇数”，{123}组成事件“小点”，{456}组成事件“大点”，诸如此类。不同的押注取胜的概率不同，有的押注不可能同时取胜有的就可以，虽然赌博不好但是大富翁之类的电脑游戏里还是不少这种小游戏的。
有些头疼的条件概率、全概率公式、贝叶斯公式仔细研究之后发现其实原理很简单，根本不需要死记硬背。条件概率其实就是把全体样本点缩小成了只有已经确定发生的“条件”中的样本点，于是各个事件中只有跟“条件”共有的交集样本点才是有效的，全概率公式、贝叶斯公式的原理类似，只要搞清楚实际有效的样本空间、各具体事件中实际有效的样本点就很容易理解。
接下来，有些小boss意味的成对数据的统计分析着实头疼，但是耐着性子一步一步理解分析推导下来，对数学的巧妙简直惊为天人！看上去是对两组零散数据的纯数字处理比较，最后竟然变成了非常几何的求两个n维向量的余弦值，用的还是余弦定理，代数跟几何从来都没有分家过。求线性回归方程也是先“强行”又“随便”地画条线，算着算着最后竟然得到了最能表示两组数据的直线，并且看上去复杂的表达式其实是可以用非常直白的几何规律简单描述。
最后，大boss有种虎头蛇尾的感觉，一上来我去什么鬼看不懂，后来慢慢搞懂了连续性，特别是极限这种“无限接近，但就是不相等”的耍赖概念。一方面是“随便你找个什么具体数字，我都能证明我的变量比你更接近它”，另一方面是“我虽然无限接近它但我就不是它，所以分母不是0可以直接除”，这么一通操作下来各种基本函数的导数就都出来了。掌握了导数之后求什么单调性、极致、最值、拐点、比大小之类的都不用动脑了。
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